Question

5．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-4在（3，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-4在（3，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=x²-2ax≥0在（3，+∞）上恒成立，
即x-2a≥0在（3，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{x}{2}$在（3，+∞）上恒成立，
∵x＞3，∴$\frac{x}{2}$＞$\frac{3}{2}$，
則a≤$\frac{3}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{3}{2}$]

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0恒成立是解決本題的關(guān)鍵．