Question

10．已知圓M：x²+y²-x-6y+c=0的圓心為M，與直線l：x+2y-3=0的兩個交點P，Q．
（Ⅰ）問c取何值時，滿足MP⊥MQ；
（Ⅱ）已知O是坐標原點，問c取何值時，滿足OP⊥OQ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由MP⊥MQ，則圓心到直線l：x+2y-3=0的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即可得到m的值．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將x=3-2y代入x²+y²-x-6y+c=0得5y²-16y+6+c=0，利用韋達定理，結合x₁x₂+y₁y₂=0，求出c．

解答 解：（Ⅰ）圓的標準方程為（x-$\frac{1}{2}$）²+（y-3）²=$\frac{37}{4}$-c，圓心M（$\frac{1}{2}$，3），半徑r=$\sqrt{\frac{37}{4}-c}$，
若MP⊥MQ，則圓心到直線l：x+2y-3=0的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
即$\frac{|\frac{1}{2}+6-3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{37}{4}-c}$，即c=-$\frac{87}{20}$．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將x=3-2y代入x²+y²-x-6y+c=0得5y²-16y+6+c=0，
則y₁+y₂=$\frac{16}{5}$，y₁y₂=$\frac{6+c}{5}$．
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∴5y₁y₂-6（y₁+y₂）+9=0，
∴5•$\frac{6+c}{5}$-6•$\frac{16}{5}$+9=0，
∴c=$\frac{21}{5}$．

點評 此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，平面向量的數(shù)量積運算法則，韋達定理，屬于中檔題．