Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-1-x．
（1）若存在x∈[-1，ln$\frac{4}{3}$]，滿足a-e^x+1+x＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥（t-1）x恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式可整理為a＜e^x-1-x，只需求出右式在區(qū)間內(nèi)的最大值即可；
（2）不等式整理為e^x-1-tx≥0恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-1-tx，求出導(dǎo)函數(shù)g'（x）=e^x-t，對t分類，通過單調(diào)性得出t的范圍．

解答 解：（1）a-e^x+1+x＜0，
∴a＜e^x-1-x，
∴a＜f（x），f'（x）=e^x-1=0，
∴x=0，
∴f（x）在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增，
x∈[-1，ln$\frac{4}{3}$]，故最大值應(yīng)在端點(diǎn)處，
∵f（-1）=$\frac{1}{e}$，f（ln$\frac{4}{3}$）=$\frac{4}{3}$-1-ln$\frac{4}{3}$＜$\frac{1}{e}$，
∴a＜$\frac{1}{e}$．
（2）當(dāng)x≥0時，f（x）≥（t-1）x恒成立，
∴e^x-1-x≥（t-1）x，
∴e^x-1-tx≥0恒成立，
令g（x）=e^x-1-tx，g'（x）=e^x-t，
若t≤1，則當(dāng)x≥0時，g'（x）＞0，且g（0）=0，
∴當(dāng)x≥0時，g（x）≥0恒成立，
∴f（x）≥（t-1）x恒成立，
若t＞1，則當(dāng)x∈（0，lnt）時，g'（x）＜0，g（x）遞減，g（0）=0，
∴當(dāng)x∈（0，lnt）時，g（x）＜0．
故不復(fù)合題意，
故t的范圍為t≤1．

點(diǎn)評 考查了對存在問題和恒成立問題的理解和通過導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值．