Question

9．若f（x+1）=2$\sqrt{f（x）}$，其中x∈N^*，且f（1）=10，則f（x）的表達(dá)式是f（x）=4•（$\frac{5}{2}$）${\;}^{{2}^{1-x}}$（x∈N^*）．

Answer 1

分析 由題意可得f（x）＞0恒成立，可對等式兩邊取2為底的對數(shù)，整理為log₂f（x+1）-2=$\frac{1}{2}$（log₂f（x）-2），由x∈N^*，可得數(shù)列{log₂f（x）-2）}為首項為log₂f（1）-2=log₂10-2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式，整理即可得到f（x）的解析式．

解答 解：由題意可得f（x）＞0恒成立，
由f（x+1）=2$\sqrt{f（x）}$，可得：
log₂f（x+1）=1+log₂$\sqrt{f（x）}$，
即為log₂f（x+1）=1+$\frac{1}{2}$log₂f（x），
可得log₂f（x+1）-2=$\frac{1}{2}$（log₂f（x）-2），
由x∈N^*，可得數(shù)列{log₂f（x）-2）}是首項為log₂f（1）-2=log₂10-2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
可得log₂f（x）-2=（log₂10-2）•（$\frac{1}{2}$）^x-1，
即為log₂f（x）=2+log₂$\frac{5}{2}$•（$\frac{1}{2}$）^x-1，
即有f（x）=2²•2${\;}^{lo{g}_{2}\frac{5}{2}•{2}^{1-x}}$=4•（$\frac{5}{2}$）${\;}^{{2}^{1-x}}$．
故答案為：f（x）=4•（$\frac{5}{2}$）${\;}^{{2}^{1-x}}$（x∈N^*）．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，通過構(gòu)造等比數(shù)列，運用等比數(shù)列的通項公式，考查運算能力，屬于中檔題．