Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（I）若f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為x-ey+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若g（x）=ax-e^x，求證：在x＞0時，f（x）＞g（x）

Answer 1

分析 （I）通過f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為x-ey+b=0，可得f′（e）=$\frac{1}{e}$，解得$a=\frac{2}{e}$，再將切點(diǎn)（e，-1）代入切線方程x-ey+b=0，可得b=-2e；
（II）由（I）知：f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），結(jié)合導(dǎo)數(shù)分①a≤0、②a＞0兩種情況討論即可；
（III）通過變形，只需證明g（x）=e^x-lnx-2＞0即可，利用g′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{x}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)判定定理即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵f（x）=ax-2-lnx（a∈R）
∴f′（x）=$a-\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$ （x＞0），
∵f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為x-ey+b=0，
即f（x）在點(diǎn)（e，f（e））的切線的斜率為$\frac{1}{e}$，
∴f′（e）=$\frac{ae-1}{e}$=$\frac{1}{e}$，∴$a=\frac{2}{e}$，∴切點(diǎn)為（e，-1），
將切點(diǎn)代入切線方程x-ey+b=0，得b=-2e，
所以$a=\frac{2}{e}$，b=-2e；
（II）由（I）知：f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$（x＞0），下面對a的正負(fù)情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)x變化時，f′（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：

0	$（0，\frac{1}{a}）$	$\frac{1}{a}$	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓		↑

由此表可知：f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增；
綜上所述，當(dāng)a≤0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（III）∵f（x）=ax-2-lnx，g（x）=ax-e^x，
∴要證：當(dāng)x＞0時，f（x）＞g（x），即證：e^x-lnx-2＞0，
令g（x）=e^x-lnx-2 （x＞0），則只需證：g（x）＞0，
由于g′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{x}$，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)可知，
g′（x）=${e}^{x}-\frac{1}{x}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵g′（1）=e-1＞0，g′（$\frac{1}{3}$）=${e}^{\frac{1}{3}}-3＜0$，
∴g′（1）•g′（$\frac{1}{3}$）＜0，
∴g′（x）在$（\frac{1}{3}，1）$內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，也即g′（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，
設(shè)g′（x）的零點(diǎn)為t，則g′（t）=${e}^{t}-\frac{1}{t}=0$，即${e}^{t}=\frac{1}{t}$（$\frac{1}{3}＜t＜1$），
由g′（x）的單調(diào)性知：當(dāng)x∈（0，t）時，g′（x）＜g′（t）=0，g（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（t，+∞）時，g′（x）＞g′（t）=0，g（x）為增函數(shù)，
所以當(dāng)x＞0時，$g（x）≥g（t）={e^t}-lnt-2=\frac{1}{t}-ln\frac{1}{e^t}-2=\frac{1}{t}+t-2≥2-2=0$，
又$\frac{1}{3}＜t＜1$，故等號不成立，
∴g（x）＞0，即當(dāng)x＞0時，f（x）＞g（x）．

點(diǎn)評 本題考查求函數(shù)解析式，函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性定理，注意解題方法的積累，屬于難題．