Question

13．向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow$=（2，4），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow$，$\overrightarrow4oqok4e$=λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrowwwsmoma$，則λ的值為（　　）

• A． $\frac{1±5\sqrt{2}}{7}$
• B． $\frac{5±\sqrt{221}}{14}$
• C． ±1
• D． 以上A、B、C均不對(duì)

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow8sm0a2q$，得$\overrightarrow{c}•\overrightarrow4kmcs2s$=0，通過(guò)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即得結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1×2+3×4$=14，
$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{1+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
所以$\overrightarrow{c}•\overrightarrowu2cyeio$=$（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow）•（λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$
=$λ{(lán)\overrightarrow{a}}^{2}+（{λ}^{2}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-λ{(lán)\overrightarrow}^{2}$
=$λ|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（{λ}^{2}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-λ|\overrightarrow{|}^{2}$
=10λ+14（λ²-1）-20λ
=14λ²-10λ-14=0，
即7λ²-5λ-7=0，解得λ=$\frac{5±\sqrt{{5}^{2}-4×7×（-7）}}{2×7}$=$\frac{5±\sqrt{221}}{14}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的等價(jià)條件，向量模的求法，向量的數(shù)量積運(yùn)算，一元二次方程的求根公式，屬于中檔題．