Question

某企業(yè)為適應市場需求，準備投入資金20萬生產W和R型兩種產品．經市場預測，生產W型產品所獲利潤y_w（萬元）與投入資金x_w（萬元）成正比例關系，又估計當投入資金6萬元時，可獲利潤1.5萬元．生產R型產品所獲利潤y_R（萬元）與投入資金x_R（萬元）的關系滿足y_R=

5

4

xR

，為獲得最大利潤，問生產W，R型兩種產品各應投入資金多少萬元？獲得的最大利潤是多少？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：若設生產R型產品投入資金為x萬元，則生產W型產品投入資金為（20-x）萬元，所獲總利潤y=

1.5

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，通過換元，令

x

=t，則y=-

1

4

t²+

5

4

t+5，根據二次函數的性質容易求得y的最大值以及對應的x的值．

解答： 解：設生產R型產品投入資金為x萬元，則生產W型產品的投入資金為（20-x）萬元，所獲總利潤為y萬元．
則由題意，得：y=

1.5

6

（20-x）+

5

4

x

，其中x∈[0，20]，
令

x

=t，則y=-

1

4

t²+

5

4

t+5=-

1

4

（t-

5

2

）²+

105

16

所以t=

5

2

，即x=

25

4

時，y取最大值

105

16

（萬元）
此時，20-

25

4

=

55

4

（萬元）
所以，生產W型產品投入資金

55

4

萬元，R型產品投入

25

4

萬元時，獲得最大總利潤，是

105

16

萬元．

點評：本題通過換元法，考查了二次函數模型的應用，并且利用二次函數的性質求其最值問題，是中檔題．