Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）拋物線C₂：y²=2px，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	0	4	2	1
y	2	4	3	2

（1）求C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓C₁上，且對角線AC、BD過原點(diǎn)O，若k_AC•k_BD=-

2p

a2

，
（i） 求

OA

•

OB

的最值．
（ii） 求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,向量在幾何中的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由表格可知：點(diǎn)（0，2）在橢圓上，可得b=2，橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

4

=1，把其余的點(diǎn)代入可得：只有點(diǎn)（

2

，

3

）可能在橢圓上，代入

2

a2

+

3

b2

=1，解得a²=8，即可得出橢圓的方程．同理可得拋物線的方程．
（2））（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用數(shù)量積運(yùn)算、已知條件即可得出；
（ii）利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式可得S_△AOB，即可得出四邊形ABCD的面積．

解答： 解：（1）由表格可知：點(diǎn)（0，2）在橢圓上，∴b=2，可得橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

4

=1，把其余的點(diǎn)代入可得：只有點(diǎn)（

2

，

3

）可能在橢圓上，代入

2

a2

+

3

b2

=1，解得a²=8，橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
把點(diǎn)（4，4）代入拋物線上，∴4²=2p×4，解得p=2，可得拋物線方程為y²=4x．
經(jīng)過驗(yàn)證（1，2）滿足上述方程．
綜上可得：橢圓C₁的方程為

x2

8

+

y2

4

=1，拋物線C₂方程為y²=4x．
（2）（i）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=kx+m x2+2y2=8

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，①
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-8

1+2k2

．
∵k_OA•k_OB=k_AC•k_BD=-

2p

a2

=-

1

2

．∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

．
∴y₁y₂=-

1

2

x1x2=-

1

2

•

2m2-8

1+2k2

=-

m2-4

1+2k2

．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k2×

2m2-8

1+2k2

+km•

-4km

1+2k2

+m²=

m2-8k2

1+2k2

，
∴-

m2-4

1+2k2

=

m2-8k2

1+2k2

，∴-（m²-4）=m²-8k²，∴4k²+2=m²．

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2m2-8

1+2k2

-

m2-4

1+2k2

=

m2-4

1+2k2

=

4k2+2-4

1+2k2

=2-

4

1+2k2

．
∴-2≤

OA

•

OB

＜2．
當(dāng)k=0（此時(shí)m²=2滿足①式），即直線AB平行于x軸時(shí)，

OA

•

OB

的最小值為-2．
又直線AB的斜率不存在時(shí)

OA

•

OB

=2，∴

OA

•

OB

的最大值為2．
（ii）設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則S_△AOB=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

1+k2

|x2-x1|•

|m|

1+k2

=

|m|

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

|m|

2

•

( -4km 1+2k2 )2-4× 2m2-8 1+2k2

=

|m|

2

•

64k2 m2 - 16(m2-4) m2

=2

4k2-m2+4

=2

2

．
∴S_{四邊形ABCD}=4S_△AOB=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算、三角形與四邊形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．