6.已知F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右兩個焦點,橢圓上點M($\frac{1}{2}$,$\frac{3\sqrt{5}}{4}$)到F1、F2兩點的距離之和等于4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知過右焦點且垂直于x軸的直線與橢圓交于點N(點N在第一象限),E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點,如果kEN+KFN=0,證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.

分析 (1)由已知求得a,把已知的坐標代入橢圓方程得到關于a,b的關系式,把a代入求得b,則橢圓方程可求;
(2)求出N的坐標,設出NE所在直線方程,與橢圓方程聯(lián)立求得E的坐標,同理求得F的坐標,代入兩點求斜率公式可得直線EF的斜率為定值.

解答 解:(1)依據(jù)橢圓的定義2a=4⇒a=2,
∵$M({\frac{1}{2},\frac{{3\sqrt{5}}}{4}})$在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$上,
∴$\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{45}{16^{2}}=1$,把a=2代入可得b2=3.
∴橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)由(1)得,c=1,則N(1,$\frac{3}{2}$),
設直線NE的方程為:$y=k(x-1)+\frac{3}{2}$,
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$,得$(3+4{k^2}){x^2}+4k(3-2k)x+4{({\frac{3}{2}-k})^2}-12=0$.
設E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF),
∵點$N({1,\frac{3}{2}})$在橢圓上,
∴由韋達定理得:${x_E}+1=-\frac{4k(3-2k)}{{3+4{k^2}}}$.
∴${x_E}=\frac{{4{{({\frac{3}{2}-k})}^2}-12}}{{3+4{k^2}}},{y_E}=k{x_E}+\frac{3}{2}-k$.
又直線NF的斜率與NE的斜率互為相反數(shù),
在上式中以-k代k,可得${x_F}=\frac{{4{{({\frac{3}{2}+k})}^2}-12}}{{3+4{k^2}}},{y_F}=-k{x_F}+\frac{3}{2}+k$,
∴xF+xE=$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$,${x}_{F}-{x}_{E}=\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$..
∴直線EF的斜率${k}_{EF}=\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}=\frac{-k({x}_{F}+{x}_{E})}{{x}_{F}-{x}_{E}}$$+\frac{2k}{{x}_{F}-{x}_{E}}$
=$\frac{-k•\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}+2k}{\frac{24k}{3+4{k}^{2}}}=\frac{1}{2}$,
即直線EF的斜率為定值,其值為$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查了直線與橢圓位置關系的應用,考查計算能力,屬中檔題.

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