Question

【題目】已知圓 ，直線
．
（1）求證：對(duì)任意的 ，直線 與圓 恒有兩個(gè)交點(diǎn)；
（2）求直線 被圓 截得的線段的最短長(zhǎng)度，及此時(shí)直線 的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：直線 的方程可化為 ，
由 得 則 恒過(guò)點(diǎn) ，
， 點(diǎn) 在圓 內(nèi)，
直線 與圓 恒有兩個(gè)交點(diǎn)
（2）解： 恒過(guò)圓 內(nèi)一點(diǎn) ， 當(dāng) 過(guò) 與 垂直時(shí)，弦最短，
， 最短弦長(zhǎng) ，
直線 的斜率為 ， ，
的方程為 ，即
【解析】（1）由直線與圓相交的性質(zhì)可以通過(guò)證明點(diǎn)P在圓內(nèi)即可證明直線與圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)。
（2）由條件可知 當(dāng) l 過(guò) P 與 P C 垂直時(shí)，弦最短，進(jìn)而可以求出直線的斜率，然后求出直線方程。