Question

1．某同學(xué)在生物研究性學(xué)習(xí)中，對(duì)春季晝夜溫差大小與黃豆種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行觀測(cè)研究，于是他在4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究，且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日  期	4月1日	4月7日	4月15日	4月21日	4月30日
溫差x/°C	10	11	13	12	8
發(fā)芽數(shù)y/顆	23	25	30	26	16

（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)4月7日、4月15日、4月21日三天的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，試問（I）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（Ⅲ）以這5天的觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)總體，在4月份任取3天，求恰有2天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)在[25，30]內(nèi)的概率．
參考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$；
參考數(shù)據(jù)：11×25+13×30+12×26=977，11²+13²+12²=434．

Answer 1

分析 （I）求出y關(guān)于x的線性回歸方程的相關(guān)數(shù)值即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（Ⅱ）當(dāng)x=10時(shí)，$\hat y=22$，|22-23|＜2，當(dāng)x=8時(shí)，$\hat y=17$，|17-16|＜2，可得結(jié)論；
（III）由5天的觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)，4月份的30天中，發(fā)芽數(shù)在[25，30]的天數(shù)$30×\frac{3}{5}=18$，即可求出恰有2天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)在[25，30]的概率．

解答 解：（I）由數(shù)據(jù)得$\overline x=12，\overline y=27$，$3\overline x\overline y=972$，$3{\overline x^2}=432$，
又$\sum_{i=1}^3{{x_i}{y_i}}=977$，$\sum_{i=1}^3{{x_i}^2}=434$，∴$\hat b=\frac{977-972}{434-432}=\frac{5}{2}$，$\hat a=27-\frac{5}{2}×12=-3$．
∴y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat y=\frac{5}{2}x-3$；…（4分）
（II）當(dāng)x=10時(shí)，$\hat y=22$，|22-23|＜2，當(dāng)x=8時(shí)，$\hat y=17$，|17-16|＜2，
∴得到的線性回歸方程是可靠的．…（8分）
（III）任每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)在[25，30]的概率是$\frac{3}{5}$，
∴由5天的觀測(cè)數(shù)據(jù)估計(jì)，4月份的30天中，發(fā)芽數(shù)在[25，30]的天數(shù)$30×\frac{3}{5}=18$，
∴恰有2天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù)在[25，30]的概率是$\frac{{C_{18}^2C_{12}^1}}{{C_{30}^3}}=\frac{459}{1015}$．        …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，回歸直線方程的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．