Question

10．在直角坐標系xOy中，曲線C的方程為（x-1）²+（y-1）²=2，直線l的傾斜角為45°且經(jīng)過點P（-1，0）
（Ⅰ）以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C交于兩點A，B，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接把直角坐標方程轉(zhuǎn)化成極坐標方程．
（Ⅱ）利用直線和圓的關(guān)系建立一元二次方程，利用根和系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．

解答 解：（I）將$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$代入（x-1）²+（y-1）²=2，化簡得，
曲線C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$    …（5分）
（II）因為直線l的傾斜角為45°且經(jīng)過點P（-1，0），
所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$，代入（x-1）²+（y-1）²=2，
整理得：$（\frac{\sqrt{2}}{2}t-2）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）^{2}=2$
化簡得，${t}^{2}-3\sqrt{2}t+3=0$，
所以${t}_{1}+{t}_{2}=3\sqrt{2}$，t₁•t₂=3，
故|PA|²+|PB|²
=${t}_{1}^{2}+{{t}_{2}}^{2}={（t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}$
=12．…（10分）

點評 本題考查的知識要點：參數(shù)方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，及直角坐標方程與極坐標方程的轉(zhuǎn)化，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，及相關(guān)的運算問題．