Question

6．已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，且對任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤1．
（1）求證：|3a+b|≤2；
（2）當3a+b=2時，
（i）求f（x）的解析式；
（ii）設h（x）=|$\frac{2x-1}{ax+2-a}$|，若存在實數(shù)m、n（m＜n），使得h（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[λm，λn]，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（1）|=|a+b+c|≤1，|f（2）|=|4a+2b+c|≤1，利用絕對值不等式放縮求解證明．
（2）（i）關鍵二次函數(shù)的性質(zhì)得出對稱軸x=1，f（0）=f（2）=1，f（1）=-1，結(jié)合方程組求解即可．
（ii）畫出圖象h（x）=|$\frac{2x-1}{2x}$|=|1-$\frac{1}{2x}$|，轉(zhuǎn)化為|1-$\frac{1}{2x}$|=λx，有2個不等根，即k（x）=λx與h（x）至少有2個不同的交點，利用方程組求解即可．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，且對任意x∈[0，2]，均有|f（x）|≤1．
∴|f（1）|=|a+b+c|≤1，|f（2）|=|4a+2b+c|≤1，
∴|3a+b|=|（4a+2b+c）-（a+b+c）|≤|4a+2b+c|+|a+b+c|≤1+1=2，
即：|3a+b|≤2．
（2）（i）當3a+b=2時，可以根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得出：對稱軸x=1，f（0）=f（2）=1，f（1）=-1
即-$\frac{2a}$=1，a+b+c=-1，
得出a=2，b=-4，c=1，
∴f（x）=2x²-4x+1，
（ii）∵設h（x）=|$\frac{2x-1}{ax+2-a}$|，
∴h（x）=|$\frac{2x-1}{2x}$|=|1-$\frac{1}{2x}$|，

∵若存在實數(shù)m、n（m＜n），使得h（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[λm，λn]，
∴|1-$\frac{1}{2x}$|=λx，有2個不等根，
即k（x）=λx與h（x）至少有2個不同的交點，
從圖可知：λ＞0，x＞0，
需有1-$\frac{1}{2x}$=λx有根，即2λx²-2x+1=0，△=4-8λ≥0，
即0$＜λ≤\frac{1}{2}$，
實數(shù)λ的取值范圍：0$＜λ≤\frac{1}{2}$

點評 本題考查了函數(shù)的圖象性質(zhì)，運用不等式的性質(zhì)，方程，構造函數(shù)圖象性質(zhì)求解復雜的問題，關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為能夠容易畫出圖象的函數(shù)求解．