Question

9．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AC=9，BC=12，AB=15，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥B₁C；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁．

Answer 1

分析 （1）由已知可證AC⊥CC₁，利用勾股定理可證AC⊥BC，可證AC⊥平面BCC₁，又B₁C?平面BCC₁，即可證明AC⊥B₁C；
（2）連接BC₁，交CB₁于E，連接DE，運(yùn)用中位線定理，以及線面平行的判定定理，即可得證；

解答 證明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AC?平面ABC，
∴AC⊥CC₁，
∵AC=9，BC=12，AB=15，可得：AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
∵CC₁∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁，
∵B₁C?平面BCC₁，
∴AC⊥B₁C；
（2）連接BC₁，交CB₁于E，連接DE，
由于D為中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，
則DE∥AC₁，DE?平面CDB₁，AC1?平面CDB₁，
則有AC₁∥平面CDB₁；

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定定理，考查直線與平面垂直的判定定理，考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．