Question

20．設(shè)函數(shù)$f（x）=ax-\frac{x}$，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為3x-y-4=0．
（Ⅰ） 求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 證明：曲線f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知曲線上的點(diǎn)，并且知道過(guò)此點(diǎn)的切線方程，容易求出斜率，又知點(diǎn)（1，f（1））在曲線上，利用方程聯(lián)立解出a，b；
（Ⅱ）可以設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線x=0和直線y=x聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可得證．

解答 解：（Ⅰ）方程3x-y-4=0可化為y=3x-4，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1，
又f′（x）=a+$\frac{{x}^{2}}$，
于是$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{a-b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故f（x）=x-$\frac{2}{x}$；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，
由f′（x）=1+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
知曲線在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為y-y₀=（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
即y-（x₀-$\frac{2}{{x}_{0}}$）=（1+$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$）（x-x₀），
令x=0，得y=-$\frac{4}{{x}_{0}}$，
從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-$\frac{4}{{x}_{0}}$）；
令y=x，得y=x=2x₀，
從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2x₀，2x₀）；
所以點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線與直線x=0，y=x
所圍成的三角形面積為$\frac{1}{2}$|-$\frac{4}{{x}_{0}}$|•|2x₀|=4．
故曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0，y=x所圍成的三角形面積為定值，
此定值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．