Question

20．已知△ABC的面積為4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，若P為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{3\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC的面積為4，可得△PBC的面積=$\frac{4}{3}$，從而可得PB×PC=$\frac{8}{3sin∠BPC}$，故$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}$=PB×PCcos∠BPC=$\frac{8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$，由余弦定理，
得到BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，進(jìn)而可得BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．從而$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}+{\overrightarrow{BC}}^{2}≥$$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$．然后利用導(dǎo)數(shù)求得$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$的最大值可得$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值．

解答 解：∵E、F分別在邊AB、AC上，且$\overrightarrow{EF}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$，
∴△ABC的面積=3△PBC的面積，而△ABC的面積=4，∴△PBC的面積=$\frac{4}{3}$，
即$\frac{1}{2}PB•PC•sin∠BPC=\frac{4}{3}$，PB×PC=$\frac{8}{3sin∠BPC}$，
∴$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PB}$=PB×PCcos∠BPC=$\frac{8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$，
由余弦定理，BC²=BP²+CP²-2BP×CPcos∠BPC，
∵BP，CP均為正數(shù)，則BP²+CP²≥2BP×CP，
∴BC²≥2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC．
則$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²≥PB×PCcos∠BPC+2BP×CP-2BP×CPcos∠BPC=$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$．
令y=$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$，則$y′=\frac{24si{n}^{2}∠BPC-48coc∠BPC+24co{s}^{2}∠BPC}{9si{n}^{2}∠BPC}$=$\frac{24-48cos∠BPC}{9si{n}^{2}∠BPC}$．
由y′=0，得cos$∠BPC=\frac{1}{2}$．
此時(shí)函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)增，在（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)減，
∴cos∠BPC=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{16-8cos∠BPC}{3sin∠BPC}$取得最大值為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$+$\overrightarrow{BC}$²的最小值為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角形面積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬難題．