Question

9．已知數(shù)列{a_n}，a_n+1=a_n+2，a₁=1，數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項和為S_n，則使一切S_n＜$\frac{m}{16}$成立的m的最小正整數(shù)是8．

Answer 1

分析 由題意求出數(shù)列{a_n}的通項公式，代入數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}，由錯位相減法求其前n項和為S_n，得到S_n$＜\frac{1}{2}$，再由$\frac{1}{2}≤\frac{m}{16}$求得使一切S_n＜$\frac{m}{16}$成立的m的最小正整數(shù)．

解答 解：由a_n+1=a_n+2，且a₁=1，知數(shù)列{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
則a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
則${S}_{n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．
令f（n）=$\frac{n}{2n+1}$，則$f（n）=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}＜\frac{1}{2}$，
由S_n＜$\frac{m}{16}$，得$\frac{1}{2}≤\frac{m}{16}$，即m≥8．
∴使一切S_n＜$\frac{m}{16}$成立的m的最小正整數(shù)是8．
故答案為：8．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．