Question

1．若二項式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ的展開式中第四項與第六項的二項式系數(shù)相等，且第四項的系數(shù)與第六項的系數(shù)之比為1：4，則其常數(shù)項為1120．

Answer 1

分析 由題意可得n，寫出二項展開式的通項，求出第四項的系數(shù)與第六項的系數(shù)，由系數(shù)比求得a值，再由x的指數(shù)為0求得r值，則常數(shù)項可求．

解答 解：由二項式（x+$\frac{a}{x}$）ⁿ的展開式中第四項與第六項的二項式系數(shù)相等，可得二項展開式有9項，則n=8．
由${T}_{r+1}={C}_{8}^{r}{x}^{8-r}（\frac{a}{x}）^{r}$=${a}^{r}{C}_{8}^{r}{x}^{8-2r}$，
當r=3時，可得第四項的系數(shù)為${a}^{3}{C}_{8}^{3}$，當r=5時，可得第六項的系數(shù)為${a}^{5}{C}_{8}^{5}$，
由$\frac{{a}^{3}{C}_{8}^{3}}{{a}^{5}{C}_{8}^{5}}=\frac{1}{4}$，解得a=±2．
由8-2r=0，得r=4．
∴常數(shù)項為：$（±2）^{4}{C}_{8}^{4}=1120$．
故答案為：1120．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質，關鍵是對二項展開式通項的記憶與應用，是基礎題．