【題目】對于正整數(shù)、,定義,其中、為非負整數(shù),,且.求最大的正整數(shù),使得存在正整數(shù),對于任意的正整數(shù),都有.證明你的結(jié)論.
【答案】證明見解析
【解析】
將滿足條件“存在正整數(shù),,使得只要正整數(shù),就有”的最大正整數(shù)記為.顯然,本題所求的最大正整數(shù)即為.
(1)先證.
事實上,,所以.
又當(dāng)時,,而,所以.
因此,.
(2)設(shè)已求出,且為偶數(shù).顯然,易知滿足的必要條件是:存在,使得只要,就有.
令.由可得.
若取,由可知.由此可得,.
于是,.
因此,.
故有.
由于為偶數(shù),從而.
因為,所以,.
因此總有.
另一方面,若取,由于,
對每個,令,
那么,或者,;或者,.
兩種情況下均有.因此,.
此外,因為為偶數(shù),若,由可得;若,
由也可得.因此也是偶數(shù).
這樣,已完成了歸納證明:.
由逐次推出,,,,.
于是,所求的最大正整數(shù).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線的焦點為F,斜率為正的直線l過點F交拋物線于A、B兩點,滿足.
(1)求直線l的斜率;
(2)設(shè)點在線段上運動,原點關(guān)于點的對稱點為,求四邊形的面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型商場在2018年國慶舉辦了一次抽獎活動抽獎箱里放有3個紅球,3個黑球和1個白球這些小球除顏色外大小形狀完全相同,從中隨機一次性取3個小球,每位顧客每次抽完獎后將球放回抽獎箱活動另附說明如下:
凡購物滿含元者,憑購物打印憑條可獲得一次抽獎機會;
凡購物滿含元者,憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎機會;
若取得的3個小球只有1種顏色,則該顧客中得一等獎,獎金是一個10元的紅包;
若取得的3個小球有3種顏色,則該顧客中得二等獎,獎金是一個5元的紅包;
若取得的3個小球只有2種顏色,則該顧客中得三等獎,獎金是一個2元的紅包.
抽獎活動的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費數(shù)據(jù)單位:元,繪制得到如圖所示的莖葉圖.
求這20位顧客中獲得抽獎機會的顧客的購物消費數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)結(jié)果精確到整數(shù)部分;
記一次抽獎獲得的紅包獎金數(shù)單位:元為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望,并計算這20位顧客在抽獎中獲得紅包的總獎金數(shù)的平均值假定每位獲得抽獎機會的顧客都會去抽獎.
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【題目】已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,拋物線上一點P的縱坐標(biāo)為3,且|PF|=4,過M(m,0)作拋物線C的切線MA(斜率不為0),切點為A.
(1)求拋物線C的方程;
(2)求證:以FA為直徑的圓過點M.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)拋物線的焦點是雙曲線的右焦點,拋物線的準線與軸的交點為,若拋物線上存在一點,且,則直線的方程為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知兩個半徑不相等的與相交于M、N兩點,且、分別與內(nèi)切于S、T兩點。求證:OM⊥MN的充分必要條件是S、N、T三點共線。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定正整數(shù),已知用克數(shù)都是正整數(shù)的塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為克的所有物品.
(1)求的最小值;
(2)當(dāng)且僅當(dāng)取什么值時,上述塊砝碼的組成方式是惟一確定的?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)當(dāng)D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在點E,使得二面角A-DE-P為直二面角?并說明理由.
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