Question

4．如圖所示三棱錐A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，則該三棱錐外接球的表面積為55π．

Answer 1

分析 三棱錐A-BCD的三條側棱兩兩相等，所以把它擴展為長方體，它也外接于球，對角線的長為球的直徑，然后解答即可．

解答 解：如圖，
∵三棱錐A-BCD的三條側棱兩兩相等，∴把它擴展為長方體，
它也外接于球，且此長方體的面對角線的長分別為：5，6，7，體對角線的長為球的直徑，
d=$\sqrt{\frac{1}{2}（{5}^{2}+{6}^{2}+{7}^{2}）}$=$\sqrt{55}$．
∴它的外接球半徑是$\frac{\sqrt{55}}{2}$．
外接球的表面積是 4π$•（\frac{\sqrt{55}}{2}）^{2}=55π$．
故答案為：55π．

點評 本題考查球的體積，考查空間想象能力，計算能力，解答的關鍵是構造球的內接長方體，利用體對角線的長為球的直徑解決問題，是中檔題．