Question

9．已知直線l：y=$\frac{1}{2}$x和兩定點(diǎn)A（1，1）、B（2，2），在直線l上取一點(diǎn)P，使PA²+PB²最小，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)P在直線l上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出PA²+PB²的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出它的最小值以及對應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：由點(diǎn)P在直線l：y=$\frac{1}{2}$x上，設(shè)點(diǎn)P（a，$\frac{1}{2}$a），a∈R；
又點(diǎn)A（1，1）、B（2，2），
∴PA²+PB²=[（a-1）²+${（\frac{1}{2}a-1）}^{2}$]+[（a-2）²+${（\frac{1}{2}a-2）}^{2}$]=$\frac{5}{2}$a²-9a+10，
當(dāng)a=-$\frac{-9}{2×\frac{5}{2}}$=$\frac{9}{5}$時，PA²+PB²取得最小值，
此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{5}$，$\frac{9}{10}$）．

點(diǎn)評 本題考查了平面上兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用問題，也考查了二次函數(shù)的最值問題，是基礎(chǔ)題目．