Question

15．定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），滿(mǎn)足$f（{x_0}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱(chēng)函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x₀是它的一個(gè)均值點(diǎn)．如y=x²是[-1，1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點(diǎn)．現(xiàn)有函數(shù)f（x）=x³+mx是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x³+mx是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，故有x³+mx=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，求出方程的根，讓其在（-1，1）內(nèi)，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³+mx是區(qū)間[-1，1]上的平均值函數(shù)，故有x³+mx=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$在（-1，1）內(nèi)有實(shí)數(shù)根．
由x³+mx=$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$⇒x³+mx-m-1=0，解得x²+m+1+x=0或x=1．
又1∉（-1，1）
∴x²+m+1+x=0的解為：$\frac{-1±\sqrt{-3-4m}}{2}$，必為均值點(diǎn)，即$-1＜\frac{-1+\sqrt{-3-4m}}{2}＜1$⇒-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．
$-1＜\frac{-1-\sqrt{-3-4m}}{2}＜1$⇒$-\frac{1}{2}$＜m≤$-\frac{3}{4}$
∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．
故答案為：-3＜m≤$-\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是在新定義下考查方程根的問(wèn)題．在做關(guān)于新定義的題目時(shí)，一定要先認(rèn)真的研究定義理解定義，再按定義解答．