Question

4．（$\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i}$）⁷-（$\frac{2-2i}{1+\sqrt{3}i}$）⁷=$（-8\sqrt{3}-8）+（8\sqrt{3}-8）i$．

Answer 1

分析 利用復數代數形式的乘除運算分別化簡括號內部的代數式，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡求得答案．

解答 解：∵$\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i}=\frac{（2+2i）（\sqrt{3}+i）}{（\sqrt{3}-i）（\sqrt{3}+i）}=\frac{2\sqrt{3}-2+（2\sqrt{3}+2）i}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{\sqrt{3}+1}{2}i$=$\frac{1}{2}（1+i）（\sqrt{3}+i）$，
$\frac{2-2i}{1+\sqrt{3}i}=\frac{（2-2i）（1-\sqrt{3}i）}{（1+\sqrt{3}i）（1-\sqrt{3}i）}=\frac{2-2\sqrt{3}-（2\sqrt{3}+2）i}{4}$=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}+1}{2}i$=$-\frac{1}{2}（1+i）（\sqrt{3}+i）$，
∴（$\frac{2+2i}{\sqrt{3}-i}$）⁷-（$\frac{2-2i}{1+\sqrt{3}i}$）⁷=$\frac{1}{{2}^{6}}（1+i）^{7}（\sqrt{3}+i）^{7}$．
∵（1+i）²=2i，∴（1+i）⁷=（2i）³（1+i）=8-8i，
∵$（\sqrt{3}+i）^{2}=2+2\sqrt{3}i$，∴$（\sqrt{3}+i）^{7}=-64\sqrt{3}-64i$，
∴原式=$\frac{1}{64}（8-8i）（-64\sqrt{3}-64i）=（-8\sqrt{3}-8）+（8\sqrt{3}-8）i$．
故答案為：$（-8\sqrt{3}-8）+（8\sqrt{3}-8）i$．

點評 本題考查了復數代數形式的混合運算，考查了學生靈活的計算能力，是中檔題．