Question

3．已知多面體ABDEC中，底面△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，且EC，DB在平面ABC的同側(cè)，M為EA的中點(diǎn)，CE=CA=2DB=2
（Ⅰ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面DEA⊥平面ECA；
（Ⅲ）求此多面體ABDEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，利用三角形中位線定理與平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得DM∥BN，再利用線面平行的判定定理可得：DM∥平面ABC．
（Ⅱ）由EC⊥平面ABC，可得EC⊥BN，利用△ABC為正三角形，可得BN⊥AC，可得BN⊥平面ECA，利用DM∥BN，可得DM⊥平面ECA，即可證明．
（Ⅲ）取BC的中點(diǎn)O，連接AO，利用等邊三角形的性質(zhì)可得：AO⊥BC．利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：AO⊥平面BDEC．利用此多面體ABDEC的體積V=V_A-BDEC=$\frac{1}{3}h{S}_{BDEC}$即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN，
∵$MN\underset{∥}{=}\frac{1}{2}EC$，$DB\underset{∥}{=}\frac{1}{2}EC$，
∴$MN\underset{∥}{=}$DB，
故四邊形BDMN為平行四邊形，
由DM∥BN，DM?平面ABC，BN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
（Ⅱ）證明：∵EC⊥平面ABC，BN?平面ABC，
∴EC⊥BN，
又∵△ABC為正三角形，
N為AC的中點(diǎn)，
∴BN⊥AC，
又AC∩EC=C，
∴BN⊥平面ECA，
∵DM∥BN，
∴DM⊥平面ECA，
又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
（Ⅲ）解：取BC的中點(diǎn)O，連接AO，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AO⊥BC，AO=$\sqrt{3}$．
∵平面BDEC⊥平面ABC，平面BDEC∩平面ABC=BC，
∴AO⊥平面BDEC．
S_BDEC=$\frac{（1+2）×2}{2}$=3，
∴此多面體ABDEC的體積V=V_A-BDEC=$\frac{1}{3}h{S}_{BDEC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面平行與垂直的判定性質(zhì)定理、三角形的中位線定理、四棱錐的體積計(jì)算公式、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．