Question

7．已知AB是⊙O的直徑，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線EC與⊙O相切于C，交AB于E，連接AC，且∠OAC=∠CAF，求證：
（1）AF⊥EC；
（2）若AE=5，AF=2，求AC．

Answer 1

分析 （1）設(shè)EC與AF交于M，連接BC，則BC⊥AC，證明∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°，即可證明AF⊥EC；
（2）證明△ACE∽△AFC，可得AC²=AE•AF，利用AE=5，AF=2，求AC．

解答 （1）證明：設(shè)EC與AF交于M，連接BC，則BC⊥AC，
因?yàn)橹本�EC與⊙O相切于C，
所以∠ACM=∠ABC，
因?yàn)椤螼AC=∠CAF，
所以∠OAC+∠ABC=∠CAF+∠ACM=90°，
所以AF⊥EC；
（2）解：連接CF，則∠MCF=∠MAC，∠ECB=∠OAC，
因?yàn)椤螼AC=∠CAF，
所以∠ACE=∠AFC，
所以△ACE∽△AFC，
所以$\frac{AC}{AF}=\frac{AE}{AC}$，
所以AC²=AE•AF，
因?yàn)锳E=5，AF=2，
所以AC=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查三角形相似的判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．