Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，設(shè)g（x）=f（x）-（2a-1）x（a∈R），試討論函數(shù)g（x）的單調(diào)性；
（2）證明當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，f（x）＜x²+x+1．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和對(duì)a分類討論即可得出；
（2）設(shè)h（x）=f（x）-（x²+x+1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，只有證明h（x）_max＜0即可．

解答 解：（1）g（x）=e^x-（2a-1）x，g′（x）=e^x-（2a-1），
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，
∴當(dāng)2a-1≤1，即a≤1時(shí)，g′（x）＞0，
當(dāng)2a-1＞1，即a＞1時(shí)，
令g′（x）＞0，得x＞ln（2a-1）；
令g′（x）＞0，得0＜x＜ln（2a-1）．
綜上可知：當(dāng)a≤1時(shí)，g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）在（0，ln（2a-1））上是減函數(shù)，在（ln（2a-1），+∞）上是增函數(shù)；
（2）證明：設(shè)h（x）=f（x）-（x²+x+1）=e^x-x²-x-1，h′（x）=e^x-2x-1，
令m（x）=h′（x）=e^x-2x-1，m′（x）=e^x-2，
∵x∈[$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，ln2）時(shí)，m′（x）＜0，m（x）在[$\frac{1}{3}$，ln2）上是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（ln2，1]時(shí)，m′（x）＞0，m（x）在（ln2，1]上是增函數(shù)，
又m（$\frac{1}{3}$）=$\root{3}{e}$-$\frac{5}{3}$＜0，m（1）=e-3＜0，
∴當(dāng)x∈[$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，恒有m（x）＜0，即h′（x）＜0，
∴h（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上為減函數(shù)，
∴h（x）≤h（$\frac{1}{3}$）=$\root{3}{e}$-$\frac{13}{9}$＜0，
即x∈[$\frac{1}{3}$，1]時(shí)，f（x）＜x²+x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．