Question

9．函數(shù)f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ（a＞0）在區(qū)間[0，$\frac{1}{2}$]上的圖象如圖所示，則m、n的值可能是（　�。�

• A． m=1，n=1
• B． m=1，n=2
• C． m=2，n=3
• D． m=3，n=1

Answer 1

分析 由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)約為0.375．把選項(xiàng)代入驗(yàn)證看哪個(gè)對(duì)應(yīng)的極大值點(diǎn)符合要求即可得出答案．

解答 解：由于本題是選擇題，可以用代入法來(lái)作，
由圖得，原函數(shù)的極大值點(diǎn)約為0.375．
當(dāng)m=1，n=1時(shí)，f（x）=ax（1-2x）=-2a（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{a}{8}$．在x=$\frac{1}{4}$處有極大值，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)m=1，n=2時(shí)，f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ=ax（1-2x）²=a（4x³-4x²+x），
所以f′（x）=a（2x-1）（6x-1），a＞0，令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{1}{6}$，
即函數(shù)在x=$\frac{1}{6}$處有極大值，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)m=2，n=3時(shí)，f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ=ax²（1-2x）³，有f'（x）=a（1-2x）²（2x-10x²），
令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{1}{5}$，x=$\frac{1}{2}$，即函數(shù)在x=$\frac{1}{5}$處有極大值，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)m=3，n=1時(shí)，f（x）=ax^m（1-2x）ⁿ=ax³（1-2x）=a（x³-2x⁴），
有f′（x）=ax²（3-8x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{8}$，即函數(shù)在x=$\frac{3}{8}$處有極大值，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最值（極值）點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．在利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．本題考查利用極值求對(duì)應(yīng)變量的值．可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．