Question

5．已知函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，對(duì)于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且滿足f（2）=1．
（1）求$f（4），f（\frac{1}{2}）$的值；
（2）求滿足f（2x）-f（x-3）＞2的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法進(jìn)行求解．
（2）根據(jù)不等式的關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵對(duì)于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且滿足f（2）=1．
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
f（4×$\frac{1}{2}$）=f（4）+f（$\frac{1}{2}$）=f（2），
即2+f（$\frac{1}{2}$）=1，則f（$\frac{1}{2}$）=-1；
（2）不等式f（2x）-f（x-3）＞2等價(jià)為f（2x）＞2+f（x-3）=f（4）+f（x-3）=f（4x-12），
∵函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x＞0}\\{x-3＞0}\\{2x＞4x-12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{x＜6}\end{array}\right.$，即3＜x＜6，
即x的取值范圍是（3，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用以及不等式的求解，利用賦值法是解決抽象函數(shù)常用方法，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．