Question

9．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足$\sqrt{3}$csinA=acosC．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）當$\sqrt{3}$cosA+cosB取得最大值時，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化簡已知等式可得$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，結(jié)合角C的范圍即可得解．
（Ⅱ）由（1）知$B=\frac{5π}{6}-A$，則化簡$\sqrt{3}cosA+cosB$可得$sin（A+\frac{π}{3}）$，結(jié)合A的范圍可求$\sqrt{3}cosA+cosB$取得最大值1時A，B，C的值，從而得解．

解答 解：（Ⅰ）由$\sqrt{3}csinA=acosC$結(jié)合正弦定理變形得：$\frac{a}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}c}}{cosC}=\frac{c}{sinC}$（3分）
從而$\sqrt{3}sinC=cosC$，$tanC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（6分）
∵0＜C＜π，∴$C=\frac{π}{6}$； …（7分）
（Ⅱ）由（1）知$B=\frac{5π}{6}-A$…（8分）
則$\sqrt{3}cosA+cosB$=$\sqrt{3}cosA+cos（\frac{5π}{6}-A）$=$\sqrt{3}cosA-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA$=$sin（A+\frac{π}{3}）$（11分）
∵$0＜A＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{7π}{6}$…（12分）
當$A+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$時，$\sqrt{3}cosA+cosB$取得最大值1，…（13分）
此時$A=\frac{π}{6}，B=\frac{2π}{3}$，$C=\frac{π}{6}$，…（14分）
故此時△ABC為等腰三角形．…（15分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)中的恒等變換應用，解題時注意分析角的范圍，屬于基本知識的考查．