Question

如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示）．M為棱AC的中點(diǎn)．

（1）求證：AD⊥BC；
（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，求直線BM與面ACD所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）沿AD將△ABD折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，從而AD⊥平面BDC，由此能證明AD⊥BC．
（2）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能證明直線BM與面ACD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：∵AD⊥BC，
∴沿AD將△ABD折起后，AD⊥BD，AD⊥DC，
又BD∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，
又BC?平面BDC，∴AD⊥BC．
（2）∵∠BDC=90°，∴DB，DC，DA兩兩垂直，
以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
設(shè)BD=x，則CD=3-x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x，
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD，
∴V_A-BCD=

1

3

×AD×S_△BCD=

1

3

×（3-x）×

1

2

×x（3-x）=

1

6

（x³-6x²+9x）
設(shè)f（x）=

1

6

（x³-6x²+9x），x∈（0，3），
∵f′（x）=

1

2

（x-1）（x-3），
∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取最大值
∴當(dāng)BD=1時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大．
三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，BD=1，AD=CD=2
∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），
A（0，0，2），M（0，1，1），E（

1

2

，1，0），
且

BM

=（-1，1，1），
設(shè)直線BM與面ACD所成角為θ，
∵平面ACD的法向量

m

=(1，0，0)
∴sinθ=|cos＜

m

，

BM

＞|=|

-1

3

|=

3

3

．
∴直線BM與面ACD所成角的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．