Question

1．（1）方程log_0.5（x+$\frac{1}{x-1}$+1）-a=0在x∈（1，+∞）上有零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）方程log_0.5（x+$\frac{1}{x-1}$+1）-a=0在x∈[2，+∞）上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，利用參數(shù)分離法進(jìn)行分解，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求最值即可．
（2）利用參數(shù)分離法進(jìn)行分類(lèi)，結(jié)合換元法，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）方程log_0.5（x+$\frac{1}{x-1}$+1）-a=0在x∈（1，+∞）上有零點(diǎn)，
則a=log_0.5（x+$\frac{1}{x-1}$+1）在x∈（1，+∞）上有解，
∵x+$\frac{1}{x-1}$+1=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，當(dāng)x＞1時(shí)，x-1＞0，
∴x+$\frac{1}{x-1}$+1=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2≥2+2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$=2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x-1=1，x=2時(shí)取等號(hào)，
∴設(shè)t=x+$\frac{1}{x-1}$+1，則t≥4，
則log_0.5t∈（-∞，log_0.54]．即log_0.5t∈（-∞，-2]，
則a∈（-∞，-2]，即a的取值范圍（-∞，-2]；
（2）方程log_0.5（x+$\frac{1}{x-1}$+1）-a=0在x∈[2，+∞）上有零點(diǎn)，
則a=log_0.5（x+$\frac{1}{x-1}$+1）在x∈[2，+∞）上有解，
∵x+$\frac{1}{x-1}$+1=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，當(dāng)x≥2時(shí)，x-1≥1，
∴x+$\frac{1}{x-1}$+1=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，
設(shè)m=x-1，則m≥1，
則設(shè)t=m+$\frac{1}{m}$+2在[1，+∞）上是增函數(shù)，則t≥1+1+2=4，
則log_0.5t∈（-∞，log_0.54]．即log_0.5t∈（-∞，-2]，
則a∈（-∞，-2]，即a的取值范圍（-∞，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．