4．設(shè)數(shù)列{an}滿足：an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$，a3=1，則a1=$\frac{1}{3}$．

分析 通過(guò)an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$可知an-an-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，an-1-an-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，…，a2-a1=1-$\frac{1}{2}$，累加計(jì)算可知an=a1+1-$\frac{1}{n}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：∵an+1=an+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴an+1-an=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴an-an-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
an-1-an-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
a2-a1=1-$\frac{1}{2}$，
累加得：an-a1=1-$\frac{1}{n}$，
∴an=a1+1-$\frac{1}{n}$，
又∵a3=1，
∴1=a1+1-$\frac{1}{3}$，
∴a1=$\frac{1}{3}$，
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

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