Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2×3ⁿ×a_n⁵，a₁=7，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對等式a_n+1=2×3ⁿ×a_n⁵兩邊同時取對數(shù)可知log₃a_n+1=log₃2+n+5log₃a_n，進而變形可知數(shù)列{log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$}是以$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7為首項、5為公比的等比數(shù)列，計算即得結論．

解答 解：∵a_n+1=2×3ⁿ×a_n⁵，
∴l(xiāng)og₃a_n+1=log₃（2×3ⁿ×a_n⁵）=log₃2+n+5log₃a_n，
∴l(xiāng)og₃a_n+1+$\frac{1}{4}$（n+1）+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$=5（log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$），
又∵log₃a₁+$\frac{1}{4}$+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$=$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7，
∴數(shù)列{log₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$}是以$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7為首項、5為公比的等比數(shù)列，
∴l(xiāng)og₃a_n+$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$=（$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7）•5^n-1，
∴l(xiāng)og₃a_n=（$\frac{5}{16}$+$\frac{1}{4}$log₃2+log₃7）•5^n-1-（$\frac{1}{4}$n+$\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}$），
∴a_n=${3}^{（\frac{5}{16}+\frac{1}{4}lo{g}_{3}2+lo{g}_{3}7）•{5}^{n-1}-（\frac{1}{4}n+\frac{1+4lo{g}_{3}2}{16}）}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．