Question

12．設(shè)f（x）=ka^x-a^-x（a＞0，a≠1，k∈R），f（x）是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)．
（1）求k的值，并證明a＞1時，f（x）在R上是增函數(shù)；
（2）已知f（1）=$\frac{3}{2}$，函數(shù)g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[-1，1]，求g（x）的值域；
（3）已知a=3，若f（x）≥λf（x），對x∈[1，2]時恒成立，求最大整數(shù)λ

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，可求得k的值，即可得函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)f（1）的值，可以求得a，即可得g（x）的解析式，利用換元法，將函數(shù)g（x）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得值域；
（3）根據(jù)a=3，將f（3x）≥λ•f（x）表示出來，利用換元法和參變量分離法，將不等式轉(zhuǎn)化為λ≤t²+3對t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得t²+3的最小值，即可求得λ的取值范圍，從而得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，得k=1，
∴f（x）=a^x-a^-x，
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)，
設(shè)x₂＞x₁，則f（x₂）-f（x₁）=（a^x₂-a^-x₂）-（a^x₁-a^-x₁）=（a^x₂-a^x₁）（1+$\frac{1}{{a}^{{x}_{1}}•{a}^{{x}_{2}}}$），
∵a＞1，
∴a^x₂＞a^x₁，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)；
（2）∵f（1）=$\frac{3}{2}$，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{2}$，即2a²-3a-2=0，
∴a=2或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
則y=g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），x∈[-1，1]，
令t=2^x-2^-x，x∈[-1，1]，
由（1）可知該函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)，則t∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
則y=h（t）=t²-2t+2，t∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]，
當(dāng)t=-$\frac{3}{2}$時，y_max=$\frac{29}{4}$；當(dāng)t=1時，y_min=1，
∴g（x）的值域?yàn)閇1，$\frac{29}{4}$]，
（3）由題意，即3^3x+3^-3x≥λ（3^x-3^-x），在x∈[1，2]時恒成立
令t=3^x-3^-x，x∈[1，2]，則t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]，
則（3^x-3^-x）（3^2x+3^-2x+1）≥λ（3^x-3^-x），x∈[1，2]恒成立，
即為t（t²+3）≥λ•t，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，
λ≤t²+3，t∈[$\frac{8}{3}$，$\frac{80}{9}$]恒成立，當(dāng)t=$\frac{8}{3}$時，（t²+3）_min=$\frac{91}{9}$，
∴λ≤$\frac{91}{9}$，則λ的最大整數(shù)為10．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．同時考查了函數(shù)的恒成立問題，對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題選用了參變量分離的方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值問題．屬于中檔題．