Question

8．如圖，∠ACB=90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD=AB=2，則三棱錐D-AEF體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出DA⊥AB，AD⊥BC，DE=$\sqrt{2}$，平面BCD⊥平面ACD，BD⊥平面AEF．由AF2+EF2=AE2=2≥2AF•EF，得到S△AEF≤$\frac{1}{2}$．由此能求出三棱錐D-AEF體積的最大值．

解答 解：∵DA⊥平面ABC，∴DA⊥AB，AD⊥BC．
∵AE⊥BD，又AD=AB=2，∴DE=$\sqrt{2}$．
又BC⊥AC，AC∩AD=A，∴BC⊥平面ACD．
∴平面BCD⊥平面ACD，
∵AF⊥CD，平面BCD∩平面ACD=CD，
∴AF⊥平面BCD．
∴AF⊥EF，BD⊥EF．∴BD⊥平面AEF．
由AF²+EF²=AE²=2≥2AF•EF，
∴AF•EF≤1．∴S△AEF≤$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$．
∴三棱錐D-AEF體積的最大值為V=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查三棱錐的體積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．