Question

9．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₃-a₁=3，$\frac{{S}_{n+1}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=p（p＞0，n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n+（-1）ⁿlog₂a_n}的前2n項和．

Answer 1

分析 （1）令n=1時，求得a₁=1，a₃=4，可得S_n+1=2S_n+1，再把n換為n-1，兩式相減，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（2）求得a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），再由數(shù)列的求和方法：分組求和，可得所求和．

解答 解：（1）由題意可得$\frac{{S}_{2}-1}{{S}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，
即有a₁+a₂-1=a₂，可得a₁=1，a₃=4，
又$\frac{{S}_{3}-1}{{S}_{2}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$，即為1+a₂+4-1=a₂（1+a₂），
解得a₂=2，（負(fù)的舍去），
則$\frac{{S}_{n+1}-1}{{S}_{n}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=p=2，即S_n+1=2S_n+1，
可得S_n=2S_n-1+1，
兩式相減可得，a_n+1=2a_n，
則有a_n=2•2^n-2=2^n-1，對n=1也成立，
故a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）a_n+（-1）ⁿlog₂a_n=2^n-1+（-1）ⁿ•（n-1），
前2n項和為S_2n=$\frac{1-{2}^{2n}}{1-2}$+（0+1）+（-2+3）+…+（2-2n+2n-1）
=2²ⁿ+n-1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項的求法，注意運(yùn)用n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，以及等比數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．