Question

14．在銳角三角形中，角A，B，C，對邊分別為a，b，c，若27（$\frac{a}$+$\frac{a}$）=104cosC，則$\frac{sinC•tanC}{sinA•sinB}$=$\frac{50}{27}$．

Answer 1

分析 由條件利用余弦定理可得a²+b²=$\frac{52}{25}$c²，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦定理化簡所求，從而求得結(jié)果．

解答 解：∵在銳角三角形ABC中，27（$\frac{a}$+$\frac{a}$）=104cosC，
∴利用余弦定理可得：27（$\frac{a}$+$\frac{a}$）=27×$\frac{^{2}+{a}^{2}}{ab}$=104×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a²+b²=$\frac{52}{25}$c²．
∴利用正弦定理可得：$\frac{sinC•tanC}{sinA•sinB}$=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinBcosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab•cosC}$=$\frac{{c}^{2}}{ab×\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}}$=$\frac{2{c}^{2}}{\frac{27{c}^{2}}{25}}$=$\frac{50}{27}$．
故答案為：$\frac{50}{27}$．

點(diǎn)評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．