Question

6．計(jì)算：
（1）已知扇形的周長為10，面積是4，求扇形的圓心角．
（2）已知扇形的周長為40，當(dāng)他的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形的面積最大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)出扇形的弧長與半徑，通過扇形的周長與面積，即可求出扇形的弧長與半徑，進(jìn)而根據(jù)公式α=$\frac{l}{r}$求出扇形圓心角的弧度數(shù)．
（2）由題意設(shè)扇形的半徑和弧長分別為r和l，可得2r+l=40，扇形的面積S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r，由基本不等式可得．

解答 解：（1）解：設(shè)扇形的弧長為：l，半徑為r，所以2r+l=10，
∵S_扇形=$\frac{1}{2}$lr=4，
解得：r=4，l=2
∴扇形的圓心角的弧度數(shù)是：$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
（2）設(shè)扇形的半徑和弧長分別為r和l，
由題意可得2r+l=40，
∴扇形的面積S=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•l•2r≤$\frac{1}{4}（\frac{l+2r}{2}）$²=100．
當(dāng)且僅當(dāng)l=2r=20，即l=20，r=10時(shí)取等號，
此時(shí)圓心角為α=$\frac{l}{r}$=2，
∴當(dāng)半徑為10圓心角為2時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100．

點(diǎn)評 本題主要考查扇形的周長與扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用以及學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．