Question

18．在平面直角坐標系xOy中，設直線l₁：kx-y=0，直線l₂：（2k-1）x+（k-1）y-7k+4=0．
（1）若直線l₁∥l₂，求實數(shù)k的值；
（2）求證：直線l₂過定點C，并求出點C的坐標；
（3）當k=2時，設直線l₁，l₂交點為A，過A作x軸的垂線，垂足為B，求點A到直線BC的距離d．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用直線平行的性質(zhì)能求出k．
（2）直線l₂轉(zhuǎn)化為（2x+y-7）k-（x+y-4）=0，由k的系數(shù)為0，能求證明直線l₂過定點C（3，1）．
（3）當k=2時，直線l₁：2x-y=0，直線l₂：3x+y-10=0，解方程組求出A（2，4），從而求出B（2，0），再求出直線BC的方程，然后利用點A（2，4）到直線BC的距離求出d．

解答 （1）解：∵直線l₁：kx-y=0，直線l₂：（2k-1）x+（k-1）y-7k+4=0，
直線l₁∥l₂，
∴$\frac{2k-1}{k}=\frac{k-1}{-1}$，
解得k=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
（2）證明：∵直線l₂：（2k-1）x+（k-1）y-7k+4=0，
∴（2x+y-7）k-（x+y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，得x=3，y=1，
∴直線l₂過定點C（3，1）．
（3）當k=2時，直線l₁：2x-y=0，直線l₂：3x+y-10=0，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{3x+y-10=0}\end{array}\right.$，得x=2，y=4，A（2，4），
過A作x軸的垂線，垂足為B，∴B（2，0），
∴直線BC的方程為：$\frac{y}{x-2}=\frac{1}{3-2}$，即x-y-2=0，
∴點A（2，4）到直線BC的距離d=$\frac{|2-4-2|}{\sqrt{1+1}}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線方程中參數(shù)的求法，考查直線過定點的證明，考查點到直線的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線平行的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．