Question

17．已知點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)A在圓（x-5）²+y²=16上運(yùn)動(dòng)，
（1）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）點(diǎn)C（1，a），若過(guò)點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線與圓相切，求a的值及切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A，M坐標(biāo)，利用M為線段AB中點(diǎn)，確定A，M坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)A在圓（x-5）²+y²=16上運(yùn)動(dòng)，可得線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)出切線方程，利用直線與圓相切，可求a的值及切線方程．

解答 解：（1）設(shè)A（m，n），M（x，y），
∵M(jìn)為線段AB中點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m-1}{2}}\\{y=\frac{n}{2}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2x+1}\\{n=2y}\end{array}\right.$，
又點(diǎn)A在圓（x-5）²+y²=16上運(yùn)動(dòng)，
∴（2x+1-5）²+（2y）²=16，
即（x-2）²+y²=4．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為：（x-2）²+y²=4； 
（2）設(shè)切線方程為：y=ax和x+y=1+a
則$\frac{|5a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=4和$\frac{|4-a|}{\sqrt{2}}$=2，解得：a=±$\frac{4}{3}$或a=4$±2\sqrt{2}$
∴切線方程為y=±$\frac{4}{3}$x和x+y=5±4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．