Question

20．設P（x，y）滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$，點A（2，0），B（0，3），若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，O是坐標原點，則λ+μ的取值范圍是（　�。�

• A． [2，4]
• B． [$\frac{5}{6}$，$\frac{11}{6}$]
• C． [$\frac{5}{6}$，2]
• D． [1，2]

Answer 1

分析 可以作出不等式組所表示的平面區(qū)域，而由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$可以得到$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$，從而得到$λ+μ=\frac{x}{2}+\frac{y}{3}$，可設$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=z$，可變成$y=-\frac{3}{2}x+3z$，從而該方程表示斜率為$-\frac{3}{2}$的一族平行直線，直線在y軸上的截距最小時z最小，截距最大時z最大，從而結合圖形便可求出z的最大、最小值，即得出λ+μ的取值范圍．

解答 解：如圖，不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤4}\end{array}\right.$所表示的區(qū)域為圖中陰影部分：

由$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$得，（x，y）=λ（2，0）+μ（0，3）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ}\\{y=3μ}\end{array}\right.$；
∴$λ+μ=\frac{x}{2}+\frac{y}{3}$；
設$\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=z$，則$y=-\frac{3}{2}x+3z$，表示斜率為$-\frac{3}{2}$的一族平行直線，3z為直線在y軸上的截距；
由圖形看出，當直線過C（1，1）時，截距最小，即z最�。�
此時$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=z$，∴z的最小值為$\frac{5}{6}$；
當直線過D（3，1）時，截距最大，即z最大；
此時$\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=z$，∴z的最大值為$\frac{11}{6}$；
∴λ+μ的取值范圍為$[\frac{5}{6}，\frac{11}{6}]$．
故選：B．

點評 考查線性規(guī)劃的概念，能找出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，根據點的坐標求向量的坐標，向量坐標的數乘運算，以及直線的斜截式方程，利用線性規(guī)劃的方法求最值．