Question

5．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中點，O是AE的中點，以AE為折痕向上折起，使D為D′，且D′B=D′C．

（Ⅰ） 求證：平面D′AE⊥平面ABCE；
（Ⅱ） 求四棱錐D′-ABCE的體積．

Answer 1

分析 （I）取BC中點F，連結(jié)OF，D′O，D′F，則BC⊥平面D′OF，于是BC⊥D′O，結(jié)合D′O⊥AE便可得出D′O⊥平面ABCE；
（II）求出底面直角梯形的面積和棱錐的高D′O，代入體積公式計算．

解答 解：（I）取BC中點F，連結(jié)OF，D′O，D′F，則BC⊥OF，
∵D′B=D′C，∴BC⊥D′F，
又∵OF?平面D′OF，D′F?平面D′OF，OF∩D′F=F，
∴BC⊥平面D′OF，∵D′O?平面D′OF，
∴BC⊥D′O，
∵DA=DE，即D′A=D′E，
∴D′O⊥AE，又∵AE?平面ABCE，BC?平面ABCE，AE與BC相交，
∴D′O⊥平面ABCE，∵D′O?平面D′AE，
∴平面D′AE⊥平面ABCE．
（II）在Rt△AD′E中，AD′=D′E=2，∠AD′E=90°，
∴D′O=$\sqrt{2}$．
S_梯形ABCE=$\frac{1}{2}×（CE+AB）×BC$=$\frac{1}{2}×（2+4）×2$=6，
∴四棱錐D′-ABCE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCE}$•D′O=$\frac{1}{3}×6×\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了線面垂直，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．