【題目】已知平面上的動點(diǎn)P（x，y）及兩定點(diǎn)A（﹣2，0），B（2，0），直線PA，PB的斜率分別是 k1 ， k2且 ．
（1）求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N． ①若OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），證明點(diǎn)O到直線l的距離為定值，并求出這個定值
②若直線BM，BN的斜率都存在并滿足 ，證明直線l過定點(diǎn)，并求出這個定點(diǎn)．

【答案】
（1）解：由題意得 ，（x≠±2），即x2+4y2=4（x≠±2）．

∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程是


（2）解：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立 ，化為（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴△=64k2m2﹣16（m2﹣1）（1+4k2）=16（1+4k2﹣m2）＞0．

∴ ， ．

∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）= ，

① 若OM⊥ON，則x1x2+y1y2=0，∴ ，

∴ ，化為 ，此時點(diǎn)O到直線l的距離d= ．

②∵kBMkBN=﹣ ，∴ ，

∴x1x2﹣2（x1+x2）+4+4y1y2=0，

∴ + ，

代入化為 ，化簡得m（m+2k）=0，解得m=0或m=﹣2k．

當(dāng)m=0時，直線l恒過原點(diǎn)；

當(dāng)m=﹣2k時，直線l恒過點(diǎn)（2，0），此時直線l與曲線C最多有一個公共點(diǎn)，不符合題意，

綜上可知：直線l恒過定點(diǎn)（0，0）


【解析】（1）利用斜率計算公式即可得出；（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，①利用OM⊥ONx1x2+y1y2=0即可得到k與m的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可證明； ②利用斜率計算公式和根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k與m的關(guān)系，進(jìn)而證明結(jié)論．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在邊長是2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，A1C的中點(diǎn)．應(yīng)用空間向量方法求解下列問題．

（1）求EF的長
（2）證明：EF∥平面AA1D1D；
（3）證明：EF⊥平面A1CD．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若a、b、c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（　　）
A.
B.a2＞b2
C.a（c2+1）＞b（c2+1）
D.a|c|＞b|c|

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)m，n∈R，定義在區(qū)間[m，n]上的函數(shù)f（x）=log2（4﹣|x|）的值域是[0，2]，若關(guān)于t的方程（ ）|t|+m+1=0（t∈R）有實(shí)數(shù)解，則m+n的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：
（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（2sinx，1）， =（cosx，1﹣cos2x），函數(shù)f（x）= （x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某農(nóng)場種植黃瓜，根據(jù)多年的市場行情得知，從春節(jié)起的300天內(nèi)，黃瓜市場售價與上市時間的關(guān)系用圖1所示的一條折線表示，黃瓜的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2所示的拋物線表示．（注：市場售價和種植成本的單位：元/kg，時間單位：天）
（1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=f（t）；寫出圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g（x）；

（2）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問從春節(jié)開始的第幾天上市的黃瓜純收益最大？并求出最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下列各小題中，p是q的充分不必要條件的是（ ） ①p：m＜﹣2或m＞6，q：y=x2+mx+m+3有兩個零點(diǎn)；
② ，q：y=f（x）是偶函數(shù)；
③p：cosα=cosβ，q：tanα=tanβ；
④p：A∩B=A，q：（UB）（UA）
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是 （t為參數(shù)）．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+12ρcosθ+11=0． （Ⅰ）說明C是哪種曲線？并將C的方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|= ，求l的斜率．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案