【題目】已知函數(shù).

1)判斷的單調(diào)性,并說明理由;

2)判斷的奇偶性,并用定義證明;

3)若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1)增函數(shù),理由見解析 2)奇函數(shù),證明見解析 3

【解析】

1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可得證.

2)首先判斷定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,利用函數(shù)奇偶性定義即可得證.

3)由(1)(2)以及分離參數(shù)法將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,令,求的最大值即可.

解:(1是定義域上的增函數(shù).

設(shè)任意的,且,則

,

因?yàn)?/span>,所以,又,所以

,所以是定義域上的增函數(shù).

2是奇函數(shù).

證明:因?yàn)?/span>,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

所以對(duì)任意,都有

所以是奇函數(shù).

3)由(2)知上的奇函數(shù),所以不等式對(duì)任意恒成立,等價(jià)于對(duì)任意恒成立.

又由(1)知,在定義域上單調(diào)遞增,

對(duì)任意恒成立即對(duì)任意恒成立.

設(shè),

,故上的最大值為,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.

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分?jǐn)?shù)

85分及以上

70分到84分

60分到69分

60分以下

等級(jí)

A

B

C

D

為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況,從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直方圖如圖①所示,樣本中原始成績(jī)?cè)?0分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖②所示.

(1)求n和頻率分布直方圖中的xy的值,并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率;

(2)在選取的樣本中,從成績(jī)?yōu)?/span>AD兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,求至少有一名學(xué)生的成績(jī)是A等級(jí)的概率.

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(1);

(2)引進(jìn)這種設(shè)備后,從第幾年開始該公司能夠獲利?

(3)這種設(shè)備使用多少年,該公司的年平均獲利最大?

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(2)若函數(shù)上單調(diào)遞增,且,證明:,并求的最小值(用,的代數(shù)式表示).

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1)寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;

2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?

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2)若點(diǎn)滿足,試在圖中畫出點(diǎn)的軌跡,并求該軌跡所圍成圖形的面積;

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