Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a．
（1）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若存在x₀∈R使f（x₀）=x₀，則稱（x₀，f（x₀））為f（x）的圖象上的不動(dòng)點(diǎn)，若函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增，令f（1）＞0解出a的范圍；
（2）由題意知f（x）=x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，列不等式解出a的范圍．

解答 解：（1）f（x）的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-1，
∴f（x）=x²+2x+a在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∵對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
∴f（1）=3+a＞0，解得a＞-3．
（2）∵f（x）有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，
∴f（x）=x有兩個(gè)不相等的解，即x²+x+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．
∴△=1-4a＞0，解得a＜$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)根的個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．