Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+1，a∈R
（1）當(dāng)a=4時(shí)，解不等式f（x）＜1+|2x+1|；
（2）若f（x）≤2的解集為[0，2]，$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=a（m＞0，n＞0），求證：m+2n≥3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 對(duì)第（1）問，將a=3代入函數(shù)的解析式中，利用分段討論法解絕對(duì)值不等式即可；
對(duì)第（2）問，先由已知解集{x|0≤x≤2}確定a值，再將“m+2n”改寫為“（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）”，展開后利用基本不等式可完成證明．

解答 （1）解：當(dāng)a=4時(shí)，不等式f（x）＜1+|2x+1|即為|x-4|＜|2x+1|
|①當(dāng)x≥4時(shí)，原不等式化為x-4＜2x+1，得x＞-5，故x≥4；
②當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤x＜4時(shí)，原不等式化為4-x＜2x+1，得x＞1，故1＜x＜4；
③當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$時(shí)，原不等式化為4-x＜-2x-1，得x＜-5，故x＜-5．
綜合①、②、③知，原不等式的解集為（-∞，-5）∪（1，+∞）；
（2）證明：由f（x）≤2得|x-a|≤1，從而-1+a≤x≤1+a，
∵f（x）≤1的解集為{x|0≤x≤2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+a=0}\\{1+a=2}\end{array}\right.$得a=1，∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$═a=1．
又m＞0，n＞0，
∴m+2n=（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=）=3+（$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥3+2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)m=1+$\sqrt{2}$，n=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，取等號(hào)，故m+2n≥3+2$\sqrt{2}$，得證

點(diǎn)評(píng) 1．已知不等式的解集求參數(shù)的值，求解的一般思路是：先將原不等式求解一遍，再把結(jié)果與已知解集對(duì)比即可獲得參數(shù)的值．
2．本題中，“1”的替換很關(guān)鍵，這是解決此類題型的一種常用技巧，應(yīng)注意體會(huì)證明過程的巧妙性．