Question

13．已知數(shù)列{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，且a₂+a₃=7，a₂•a₃=12，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比q=b₁=$\frac{4}{9}$a₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，試判斷數(shù)列{c_n}是否有最大值；若有最大值，則求出第幾項(xiàng)最大，最大值是多少？若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）c_n=a_n•b_n=$（n+1）•（\frac{8}{9}）^{n}$，作商可得：$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}•\frac{8}{9}$，令$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}≥1$，解得n≤7，即可得出數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差d＞0的等差數(shù)列，且a₂+a₃=7，a₂•a₃=12，
∴a₂=3，a₃=4，d=4-3=1，
2a₁+3×1=7，解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∵數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比q=b₁=$\frac{4}{9}$a₁=$\frac{8}{9}$．
∴$_{n}=（\frac{8}{9}）^{n}$．
（2）c_n=a_n•b_n=$（n+1）•（\frac{8}{9}）^{n}$，
$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=$\frac{n+2}{n+1}•\frac{8}{9}$，
令$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}≥1$，解得n≤7，
∴數(shù)列c₁＜c₂＜…＜c₇=c₈＞c₉＞…．
∴當(dāng)n=7或8時(shí)，數(shù)列{c_n}有最大值，c₇=c₈=$\frac{{8}^{8}}{{9}^{7}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．