Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2a+e^x（1-x），其中a＜1，若存在唯一整數(shù)x₀，使得f（x₀）＞0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{2}{3e}，1）$
• B． $[\frac{2}{3e}，\frac{1}{2}）$
• C． $（-\frac{2}{3e}，1）$
• D． $[-\frac{2}{3e}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^x（x-1），y=ax-2a，則存在唯一的整數(shù)x₀，使得g（x₀）在直線y=ax-2a的下方，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=ax-2a+e^x（1-x），其中a＜1，
設(shè)g（x）=e^x（x-1），y=ax-2a，
∵存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＞0，
∴存在唯一的整數(shù)x₀，使得g（x₀）在直線y=ax-2a的下方，
∵g′（x）=xe^x，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＜0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，[g（x）]_min=g（0）=-1．
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，g（1）=e＞0，
直線y=ax-2a恒過(guò)（2，0），斜率為a，故-a＞g（0）=-1，
且g（-1）=-2e^-1≥-a-2a，解得a≥$\frac{2}{3e}$．-1＞-2a，解得a$＜\frac{1}{2}$
∴a的取值范圍是[$\frac{2}{3e}$，$\frac{1}{2}$）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，涉及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．