Question

20．若0＜x＜1，a=$\sqrt{\frac{sinx}{x}}$，b=$\frac{sinx}{x}$，c=$\frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$，則a，b，c的大小關(guān)系為a＞b＞c．

Answer 1

分析 通過研究函數(shù)y=$\frac{sinx}{x}$的單調(diào)性，即可求得y=$\frac{sinx}{x}$在（0，1）上的值域，通過a與b的比較，b與c的比較即可得出a，b，c三者之間的關(guān)系．

解答 解：設(shè)y=$\frac{sinx}{x}$，則y′=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$，
t（x）=xcosx-sinx，t′=-xsinx，
∵0＜x＜1，∴t（x）′＜0，
∴函數(shù)t（x）=xcosx-sinx在（0，1）上單調(diào)遞減，
又t（0）=0，t（1）=cos1-sin1＜0，
∴y′＜0對0＜x＜1恒成立，
故y=$\frac{sinx}{x}$在0＜x＜1單調(diào)遞減．
∵0＜x＜1，∴$\sqrt{x}$＞x，
∴$\frac{sinx}{x}$＞$\frac{sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$，
∴b＞c
又在0＜x＜1上，0＜$\frac{sinx}{x}$＜1，
∴$\sqrt{\frac{sinx}{x}}$＞$\frac{sinx}{x}$，
∴a＞b，
∴a＞b＞c．
故答案為：a＞b＞c．

點評 本題考查學生比較大小的能力，考查學生靈活轉(zhuǎn)化題目條件并設(shè)立新函數(shù)解決問題的能力，屬于中檔題．