Question

2．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax-a）的值域?yàn)镽，且f（x）在（-2，1-$\sqrt{2}$）上為增函數(shù)．則a的取值范圍為[0，1]．

Answer 1

分析 由題意可得，函數(shù)y=x²-2ax-a能夠取遍所有的正數(shù)，由△=4a²+4a≥0，求得a的范圍 ①．再根據(jù)函數(shù)y=x²-2ax-a在（-2，1$-\sqrt{2}$）上是減函數(shù)且為正值，得出不等式組求解即可．

解答 解：由函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax-a）的值域?yàn)镽，可得函數(shù)y=x²-2ax-a能夠取遍所有的正數(shù)，
故有△=4a²+4a≥0，求得：a≤-1，或a≥0 ①．
再根據(jù)f（x）在（-2，1-$\sqrt{2}$）上是增函數(shù)，可得函數(shù)y=x²-2ax-a在（-2，1-$\sqrt{2}$）上是減函數(shù)且為正值，
故a≥1-$\sqrt{2}$，且當(dāng)x=1-$\sqrt{2}$時(shí)y≥0．
即 a≥1$-\sqrt{2}$，且3$-2\sqrt{2}$-a（3-2$\sqrt{2}$）≥0．
求得：1$-\sqrt{2}$≤a≤1②．
結(jié)合①②求得0≤a≤1，
故答案為：[0，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題